山裡有兩個治療師。
老的那位叫做塔倫,在村裡行醫三十年。年輕的那位叫做蕾娜,三年前從城裡回來,在村子邊上開了間小屋。
每逢患者登門,總有人會問:「你去哪一個?」
問題聽起來很簡單,但沒有人知道答案其實是一個謎。
村長決定用數字解決這個問題。他花了一整年,記下每一個去找塔倫或蕾娜的患者,以及他們最後的結果。
年底,他攤開帳本,在村民大會上宣讀:
村長「一百個人找了塔倫,八十五個人好了。一百個人找了蕾娜,只有六十個人好了。答案很清楚——塔倫更厲害。」
掌聲響起。老醫者向人群點頭致意。
蕾娜坐在角落,沒有說話。
但有一個孩子——村裡最愛問問題的那種——在散會後拉住了村長的袖子。
孩子「村長,那一百個人裡,有多少是小病,多少是大病?」
村長翻了翻帳本。
找塔倫的一百人裡,九十個是輕症,十個是重症。
找蕾娜的一百人裡,十個是輕症,九十個是重症。
孩子拿過帳本,在泥地上畫了一個表格:
輕症患者:
塔倫治了九十人,八十人好了——治癒率 89%。
蕾娜治了十人,十人全部好了——治癒率 100%。
重症患者:
塔倫治了十人,五人好了——治癒率 50%。
蕾娜治了九十人,五十人好了——治癒率 56%。
孩子直起身子,看著村長。
孩子「不管是輕症還是重症,蕾娜的勝率都比塔倫高。但是加在一起,她看起來輸了。」
廣場陷入沉默。
她在每一場都贏了,但在最後的計分板上,卻是輸家。
村長喃喃地說:「怎麼可能……」
蕾娜走過來,在那個表格旁邊蹲下。
蕾娜「因為人們知道我會接難的病人。所以難的病人都來找我。塔倫接了九十個輕症,我接了九十個重症。我們的勝率看起來不同,不是因為我們的能力不同——是因為我們面對的挑戰不同。」
她頓了一下。
蕾娜「數字沒有說謊。但數字也沒有告訴你整件事。」
村長把帳本合上,靠在胸口,像是在聽自己的心跳。
那一夜,他重新理解了什麼叫做「比較」。
揭曉 — 辛普森悖論(Simpson's Paradox · 1951)
這個故事藏了什麼?
這是辛普森悖論(Simpson's Paradox),由統計學家 E. H. Simpson 於 1951 年以論文形式闡述,但在更早的文獻中已有相關觀察。
辛普森悖論描述的是一種令人錯愕的統計現象:在整體數據中呈現的趨勢,在各個子群體中卻全部反轉。
數學上,這是因為「加權平均值」會受到各群體的樣本比例影響。如果兩個群體的樣本數分佈不對稱,就算甲在每個子群體都勝出,整體平均卻可能低於乙。
這個悖論不只是數學遊戲。它在現實中反覆出現:
- 醫學試驗中,新藥的整體療效看似不如舊藥,但在每個年齡層都更有效
- 大學錄取率顯示某校對某性別有偏見,但分院系看反而相反
- 棒球打擊率在每個月份都更高的打者,年度整體成績卻更低
結論是:任何比較都必須問「在什麼條件下比較?」。只看匯總數字,有時候不只是不夠,而是主動引人走向錯誤的結論。
故事解碼
| 故事元素 |
辛普森悖論概念 |
| 蕾娜接走重症、塔倫接走輕症 |
兩個群體的樣本分佈不對稱 |
| 帳本裡的整體治癒率 |
匯總(aggregated)統計數字 |
| 孩子畫的輕症/重症分表 |
分層(stratified)分析 |
| 「每一場都贏,但計分板顯示輸」 |
子群體趨勢與總體趨勢相反 |
| 村長重新理解「比較」 |
統計解讀需要考慮混淆變量(confounding variable) |